hipotesis

Ensayo de hipótesis y significación

Hipótesis

Es una proposición que establece relaciones, entre los hechos; para otros es una posible solución al problema; otros más sustentan que la hipótesis no es más otra cosa que una relación entre las variables, y por último, hay quienes afirman que es un método de comprobación.

Hipótesis estadísticas, hipótesis nula

Para llegar a tomar decisiones, conviene hacer determinados supuestos o conjeturas acerca de las poblaciones que se estudian. Tales supuestos que pueden ser o no ciertos se llaman hipótesis estadísticas y, en general, lo son sobre las distribuciones de probabilidad de las poblaciones.

En muchos casos se formulan las hipótesis estadísticas con el solo propósito de rechazarlas o invalidarlas. Por ejemplo, si se quiere decidir si una moneda esta cargada, se formula la hipótesis de que la moneda esta bien, es decir, P= 0.5; donde P es la probabilidad de cara. Análogamente, si se quiere decidir sobre si un procedimiento es mejor que otro, se formula la hipótesis de que no hay diferencia entre los procedimientos (es decir, cualquier diferencia observada se debe meramente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población). Tales hipótesis se llaman también hipótesis nulas y se denotan por Ho.

Cualquier hipótesis que difiera de una hipótesis dada se llama hipótesis alternativa. Por ejemplo, si una hipótesis es P=0.5, hipótesis alternativa son P=0.7; P≠0.5 ó P>0.5. Una hipótesis alternativa de la hipótesis nula se denota por H1.

Ensayo de hipótesis y significación

Si en el supuesto de que una hipótesis determinada es cierta, se encuentra que los resultados observados en una muestra aleatoria difieren marcadamente de aquellos que cabía esperar con la hipótesis y con la variación propia del muestreo, se diría que las diferencias observadas son significativas y se estaría en condiciones de rechazar la hipótesis (o al menos no aceptarla de acuerdo con la evidencia obtenida). Por ejemplo, si en 20 lanzamientos de una moneda se obtienen 16 caras, se estaría inclinado a rechazar la hipótesis de que la moneda esta bien, aunque seria posible que fuese un rechazamiento erróneo. Los procedimientos que facilitan el decidir si una hipótesis se acepta o se rechaza o el determinar si las muestras observadas difieren significativamente de los resultados esperados se llaman ensayos de hipótesis, ensayos de significación o reglas de decisión.

Errores de tipo I y tipo II 

Si se rechaza una hipótesis cuando debería ser aceptada, se dice que se comete un error del tipo I. si por el contrario, se acepta un hipótesis que debería ser rechazada, se dice que se comete un error del tipo II.

	Ho es cierta	H1 es cierta
Se escogió Ho	No hay error (verdadero positivo)	Error del tipo II (β o falso negativo)
Se escogió H1	Error del tipo I (α o falso positivo)	No hay error (verdadero negativo)

Nivel de significación

La probabilidad máxima con la que el ensayo de una hipótesis se puede cometer un error del tipo I se llama nivel de significación del ensayo. Esta probabilidad se denota frecuentemente por α.

En la práctica se acostumbra a utilizar niveles de significación del 0.05 ó 0.01, aunque igualmente pueden emplearse otros valores. Si, por ejemplo se elige un nivel de significación del 0.05 ó 5% al diseñar un ensayo de hipótesis, entonces hay aproximadamente 5 ocasiones en 100 en que se rechazaría la hipótesis cuando debería ser aceptada, es decir, se está con un 95% de confianza de que se toma la decisión adecuada.

Ensayos referentes a la distribución normal

La distribución muestral de un estadístico S es una distribución normal con media µs y desviación típica σs. Entonces en una normal tipificada (media 0, varianza 1)

Se puede formular la siguiente regla de decisión o ensayo de hipótesis o significación:

a) se rechaza la hipótesis al nivel de significación del 0.05 si la Z obtenida para el estadístico S se encuentra fuera del recorrido -1.96 a 1.96 (es decir, Z > 1.96 ó Z < -1.96). Esto equivale a decir que el estadístico muestral observado es significante al nivel del 0.05.

      b) se acepta la hipótesis (o si se desea no se toma decisión alguna) en caso contrario.

Debe ponerse de manifiesto que pueden igualmente emplearse otros niveles de significación.

Ensayos de una y dos colas

En el ensayo anterior se atendía a los valores extremos del estadístico S o su correspondiente Z a ambos lados de la media, es decir, en las dos “colas” de la distribución. Por esta razón, tales ensayos se llaman ensayos de dos colas o bilaterales.

Sin embargo, con frecuencia se puede solamente estar interesado en los valores extremos a un solo lado de la media, es decir, en una “cola” de la distribución, como por ejemplo, cuando se está ensayando la hipótesis de que un proceso es mejor que otro (que es diferente a ensayar si un proceso en mejor o peor que otro). Tales ensayos se llaman ensayos de una cola o ensayos unilaterales.

La tabla, que da valores críticos de Z para ensayos de una y dos colas a distintos niveles de significación, será de utilidad para propósitos de referencia.

Nivel de significación	0.10	0.05	0.01	0.005	0.002
Valores críticos de Z para ensayos unilaterales	-1.28 ó 1.28	-1.645 ó 1.645	-2.33 ó 2.33	-2.58 ó 2.58	-2.88 ó2.88
Valores críticos de Z para ensayos bilaterales	-1.645 y 1.645	-1.96 y 1.96	-2.58 y 2.58	-2.81 y 2.81	-3.08 y 3.08

Ensayos especiales de significación para grandes muestras

Para muestras grandes, las distribuciones muéstrales de muchos estadísticos son distribuciones normales (o al menos casi normales) con media µs y desviación típica σs.

1. medias

Aquí S=X, la media muestral; µs= µx= µ, media poblacional; σs= σx= σ/ √n, donde σ es la desviación típica poblacional y n es el tamaño de la muestra. La variable tipificada viene dada por:

                                                 Z= x - n 

                                                  σ/ √n

Cuando es necesario se utiliza la desviación muestral observada S ó Ŝ, para estimar σ.

Utilizando un ensayo de dos colas, aceptaríamos Ho (o al menos no lo rechazaríamos) al nivel 0.05 si para una muestra especifica de tamaño n con media x.

                                                -1.96 ≤   x - α   ≤ 1.96          

                                                               σ/ √n

Y lo rechazaríamos por el contrario.

Para ensayar la hipótesis de que la media poblacional es mayor que α utilizaríamos aun la hipótesis nula Ho de que es igual a α.

                                        x - α    > - 1.645      

                                        σ/ √n

2. proporciones.

Aquí S=P, la proporción de “éxitos” en una muestra; µs= µp= P, donde P es la proporción de éxitos en la población y n es el tamaño de la muestra.

                             σs= σp=√ pq/n  donde  q= 1 – p

La variable tipificada viene dada por

                             Z= P- p

                                 √pq/n

En el caso de que P= X/n, donde X es el número real de éxitos en una muestra, se convierte en

          Z= X – np

                          √ n.pq

Diferencia de medias

                               µx1 – X2 = 0         σx1 - x2 = √σ²1  + σ²2

                                                                               n1          n2

Con la variable tipificada dada por

            Z= X1 - X2 – 0  =   X1 - X2

                   σx1 - X2              σx1 – X2

Diferencia de proporciones

            µp1 – P2 = 0         σp1 – P2 = √p (1 – p) (1  + 1)  

                                                                           n1     n2

Con la variable tipificada dada por

                 Z= P1 – P2 – 0  =   P1 – P2

                        σp1 – P2              σ  p1 – P2

Ensayos especiales de significación para pequeñas muestras

En el caso de pequeñas muestras (n < 30) podemos formular ensayos de hipótesis y significación utilizando distribuciones además de la normal.

1. medias

Para ensayar la hipótesis Ho de que una población normal tiene media µ utilizamos.

                        T= x - µ √ n – 1 = x - µ √n  

                                 S                     Ŝ

Donde x es la media de una muestra de tamaño n.

Diferencia de medias

                    T= x1 - x2                                           donde σ = √ n1 s²1 + n2 s²2

                           σ√ 1 + 1                                                n1 + n – 2   

                                n1     n2

2. Varianzas

Para ensayar la hipótesis Ho de que una población normal tiene varianza σ ² consideramos la variable aleatoria.

                   X²=   ns² =  (n – 1) Ŝ²

                            σ ²             σ ²

Relaciones de varianza

                   F =  S²1/ σ ²1

                                   Ŝ²2/ σ ²2

Problemas resueltos de hipótesis

1) Se cree que el nivel medio de protrombina en una población normal es de 20 mg/100 ml de plasma con una desviación típica de 4 miligramos/100 ml. Para comprobarlo, se toma una muestra de 40 individuos en los que la media es de 18.5 mg/100 ml. ¿Se puede aceptar la hipótesis, con un nivel de significación del 5%?

1.   Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H₀ : μ =20 mg/100 ml      

H₁ : μ ≠ 20 mg/100 ml       

2.  Zona de aceptación

Para α = 0.05, le corresponde un valor crítico: z_α/2 = 1.96.

Determinamos el intervalo de confianza para la media:

(20 -1.96 . 4  20 + 1.96 .   4)  = 18.77 ; 21.23  

                √20                  √20

3.  Verificación.

Valor obtenido de la media de la muestra: 18.5.

4.  Decisión

Rechazamos la hipótesis nula H₀, con un nivel de significación del 5%.

2) El control de calidad una fábrica de pilas y baterías sospecha que hubo defectos en la producción de un modelo de batería para teléfonos móviles, bajando su tiempo de duración. Hasta ahora el tiempo de duración en conversación seguía una distribución normal con media 300 minutos y desviación típica 30 minutos. Sin embargo, en la inspección del último lote producido, antes de enviarlo al mercado, se obtuvo que de una muestra de 60 baterías el tiempo medio de duración en conversación fue de 290 minutos. Suponiendo que ese tiempo sigue siendo Normal con la misma desviación típica:

¿Se puede concluir que las sospechas del control de calidad son ciertas a un nivel de significación del 2%?

1.   Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H₀ : µ ≥ 300     

H₁ : µ < 300    

2.  Zona de aceptación

α = 0.02;   1- α = 0. 98;       P(1.96)= 0. 98;     z_α = 1.96 .

Determinamos el intervalo de confianza:

(300 – 2.33 . 30 ; ∞) = 290.98; ∞

                   √60

3.  Verificación.

µ = 290

4.  Decisión

Rechazamos la hipótesis nula H₀. Con un nivel de significación del 2%.

3) Un fabricante de lámparas eléctricas está ensayando un nuevo método de producción que se considerará aceptable si las lámparas obtenidas por este método dan lugar a una población normal de duración media 2400 horas, con una desviación típica igual a 300. Se toma una muestra de 100 lámparas producidas por este método y esta muestra tendrá una duración media de 2320 horas. ¿Se puede aceptar la hipótesis de validez del nuevo proceso de fabricación con un riesgo igual o menor al 5%?

1.   Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H₀ : μ = 2400     

H₁ : μ ≠2400      

2. Zona de aceptación

α = 0.05      z_α = 1.96.

Determinamos el intervalo de confianza para la media:

(2400 – 1.96 . 300 ; 2400 + 1.96 . 300 ) = 2341.2 ; 2458.8  

                      √100                      √100

3.  Verificación.

Valor obtenido de la media de la muestra: 2320.

4.  Decisión

Rechazamos la hipótesis nula H₀, con un nivel de significación del 5%.

 

4) La duración de las bombillas de 100 W que fabrica una empresa sigue una distribución normal con una desviación típica de 120 horas de duración. Su vida media está garantizada durante un mínimo de 800 horas. Se escoge al azar una muestra de 50 bombillas de un lote y, después de comprobarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significación de 0,01, ¿habría que rechazar el lote por no cumplir la garantía?

1.   Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H₀ : µ ≥ 800     

H₁ : µ <800    

2.  Zona de aceptación

α = 0.01;    z_α = 2.33

Determinamos el intervalo de confianza:

(800 – 2.33 . 120  ; ∞) = 760.46; ∞

                      √50

3.  Verificación.

x = 750

4.  Decisión

Rechazamos la hipótesis nula H₀. Con un nivel de significación del 1%.

5) Una marca de nueces afirma que, como máximo, el 6% de las nueces están vacías. Se eligieron 300 nueces al azar y se detectaron 21 vacías.

1.Con un nivel de significación del 1%, ¿se puede aceptar la afirmación de la marca?

1.   Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H₀ : p ≤ 0.06     

H₁ : p >0.06    

2.  Zona de aceptación

α = 0.01      z_α = 2.33.

Determinamos el intervalo de confianza:

(-∞; 0.06 +2.33 . √ 0.06 . 0.94) = -∞; 0.092

                                   300

3.  Verificación.

P’= 21/300 =0.07

4.  Decisión

Aceptamos la hipótesis nula H₀. Con un nivel de significación del 1%.

6) Un sociólogo ha pronosticado, que en una determinada ciudad, el nivel de abstención en las próximas elecciones será del 40% como mínimo. Se elige al azar una muestra aleatoria de 200 individuos, con derecho a voto, 75 de los cuales estarían dispuestos a votar. Determinar con un nivel de significación del 1%, si se puede admitir el pronóstico.

1. Enunciamos las hipótesis nula y alternativa:

H₀ : μ ≥ 0.40      La abstención será como mínimo del 40%.

H₁ : μ < 0.40     La abstención será como máximo del 40%;

2. Zona de aceptación

Para α = 0.01, le corresponde un valor crítico: z_α = 2.33.

Determinamos el intervalo de confianza para la media:

(0.4 – 2.33 . √ 0.4 .  0.6 , ∞) = 0.3192; ∞

                           200

3. verificación

P’= 125/200= 0.625

4. Decisión

Aceptamos la hipótesis nula H₀. Podemos afirmar, con un nivel de significación del 1%, que la  La abstención será como mínimo del 40%.

 

Aquí dejo unos videos de youtube

http://www.youtube.com/watch?v=8kPidg4QBb8&feature=fvsr

http://www.youtube.com/watch?v=y1KR92K69lo&feature=relmfu

http://www.youtube.com/watch?v=aPaZU5IZ0Go&feature=related

Conclusión 

Por medio de la hipótesis se pueden establecer relaciones por medio de los hechos. Luego de formulado un problema se enuncia la hipótesis y mediante ella se puede hallar una solución al problema.

Cada autor tiene una definición diferente acerca de la hipótesis dicen que es una relación entre variables y hay otros que afirman que es un método de comprobación.

Incluso la hipótesis se aplica en la vida cotidiana por ejemplo: si uno llega a su casa y te encuentras una ventana rota se puede decir que la han roto para robar. Pero esa es una hipótesis que uno se hace al no saber lo que ha ocurrido en realidad.  

Bibliografía

 http://www.monografias.com/trabajos15/hipotesis/hipotesis.shtml

http://www.scribd.com/doc/18627831/probabilidad-y-estadistica-760-problemas-resueltosmurray-r-spiegel

http://www.vitutor.com/estadistica/inferencia/c_e.html

realizado por:

Nastasi, Angelina.
Nastasi, Alejandra.
Ortega, Victor